（一）奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数；
偶数±偶数=偶数；
偶数±奇数=奇数；
奇数±偶数=奇数。
【推论】
1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。
2.任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。
（二）整除判定基本法则
1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；
能被4（或 25）整除的数，末两位数字能被4（或 25）整除；
能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；
一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；
一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或 25）除得的余数；
一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。
2.能被3、9整除的数的数字特性
能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。
3.能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。
（三）倍数关系核心判定特征
如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a是m的倍数；b是n的倍数。
如果x＝y（m，n互质），则x是m的倍数；y是n的倍数。
如果a∶b=m∶n（m，n互质），则a±b应该是m±n的倍数。
【例题1】四个连续奇数的和为32，则它们的积为多少？
A.945 B.1875 C.2745 D.3465
【解析】这四个数为5、7、9、11，那么积能被5整除，四个选项末位均为5；积能被9整除，排除B；积能被11整除，即奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除，排除A、C，故答案选D。
【例题2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？
A. 36 B. 37 C. 39 D. 41
【解析】假设每个钢琴教师带a个学生，每个拉丁舞教师带b个学生（a、b均为质数）。那么5a＋6b＝76，其中b的取值可能有2、3、5、7、11。经验证，只有b＝11时，76－6b能被5整除，且a＝2为质数。那么4a＋3b＝41，故答案选D。
【例题3】甲、乙、丙、丁四人为地震灾区捐款，甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，乙捐款数是另外三人捐款总数的三分之一，丙捐款数是另外三人捐款总数的四分之一，丁捐款169元。问四人一共捐了多少钱？（ ）
A.780元 B.890元 C.1183元 D.2083元
【解析】甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，知捐款总额是3的倍数；乙捐款数是另外三人捐款总数的 ，知捐款总额是4的倍数；丙捐款数是另外三人捐款总数的 ，知捐款总额是5的倍数。捐款总额应该是60的倍数。结合选项，选择A。
注意：事实上，通过“捐款总额是3的倍数”即可排除其他选项，得出答案。
【例题4】一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。问原木箱内共有乒乓球多少个?（ ）
A.246个 B.258个 C.264个 D.272个
【解析】每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。因此乒乓球的总数=10M+24，个位数为4，选择C。
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