比例问题的核心方法——设“1”法：将某个量设为便于计算的某一常数。

　　十字交叉法基本原理：加权平均问题中，权重影响的是与“平均值”的偏向。即权重越大则平均值距其越近;权重越小则平均值距其越远。

　　工程问题基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间。

　　浓度问题基本关系式：浓度=溶质溶液×100%。

　　典型真题

　　【例1】 王明抄写一份报告，如果每分钟抄写30个字，则用若干小时可以抄完。当抄完25时，将工作效率提高40%，结果比原计划提前半小时完成。问这份报告共有多少字?()

　　A. 6025字B. 7200字

　　C. 7250字D. 5250字

　　【解析】 本题正确答案为D。工程问题。假设每分钟抄写30个字，需要t分钟完成。完成25时，工作效率提高到30×(1+40%)=42，在剩下的35的工作量中，原工作效率∶实际工作效率=30∶42，原计划时间∶实际时间=35t∶(35t-30)，由于在工作量一定的情况下，工作效率和工作时间成反比，所以35t∶(35t-30)=42∶30，t=175(分钟)。这份报告的总字数为30×175=5250。正确答案为D。

　　【例2】 (2012上—天津事业)将A、B、C三个水管打开向水池放水，水池12分钟可以灌满;将B、C、D三个水管打开向水池放水，水池15分钟可以灌满;将A、D两个水管打开向水池放水，水池20分钟可以灌满。如果将A、B、C、D四个水管打开向水池放水，水池须多少分钟可以灌满?()

　　A. 25B. 20C. 15D. 10

　　【解析】 本题正确答案为D。工程问题。假设水池的水量为1，那么A+B+C=112，B+C+D=115，A+D=120，由此可得2(A+B+C+D)=112+115+120=15，A+B+C+D=110，即四个水管同时打开放水，需要10分钟可以灌满。正确答案为D。

　　【例3】 开挖一条长1200米的水渠，其中一段土质较硬，每10米需3人挖4天，另一段土质较软，每10米需2人挖3天，经估算，这段水渠可由40人花30天时间挖完，问土质较硬的一段有多长?()

　　A. 400米 B. 600米 C. 800米 D. 1000米

　　【解析】 本题正确答案为D。根据已知，土质较硬的每10米需要1人挖3×4=12(天)，土质较软的每10米需要1人挖2×3=6(天)，这段水渠可由1人花40×30=1200(天)完成。假设水渠全是软土质，则需要1200÷10×6=720(天)，比估算的少1200—720=480(天)，所以硬土质有480÷(12—6)×10=800(米)。故正确答案为C。

　　【例4】 甲、乙、丙、丁、戊合做一批零件。甲做的个数是其他四个人工作总量的一半，乙做的个数是其他四个人工作总量的13，丙做的个数是其他四个人工作总量的14，丁做的个数是其他四个人工作总量的15，戊做了120个。五个人共做了()个零件。

　　A. 480B. 960C. 1200D. 2400

　　【解析】 本题正确答案为D。由题意可知甲完成了工作总量的1(1+2)=13,乙完成了工作总量的1(1+3)=14, 丙完成了工作总量的1(1+4)=15, 丁完成了工作总量的1(1+5)=16。故可知工作总量为120(1-13-14-15-16)=2400(个)。

　　【例5】 饭店购进了三种蔬菜，其中白菜的重量占27，黄瓜的重量和其他两种蔬菜重量之和的比是2∶3，黄瓜比白菜多12千克。共购进蔬菜()千克。

　　A. 35B. 75C. 105 D. 150

　　【解析】 本题正确答案为C。由题意可知黄瓜的重量占全部蔬菜的比例为2(2+3)=25，可知全部蔬菜重量为12(25-27)=105(千克)。

　　【例6】 有甲、乙两项工作，李师傅单独完成甲工作需要10天，单独完成乙工作需要12天;孙师傅单独完成甲工作需要3天，单独完成乙工作需要15天。如果两人合作完成这两项工作，最少需要()天。

　　A. 8B. 350/39C. 11 D. 15

　　【解析】 本题正确答案为A。孙师傅完成甲工作效率比李师傅高，完成乙工作则相反。因此让孙师傅先用3天完成甲工作，此时李师傅完成了乙工作的312=14，因此还需要两位师傅工作的天数为(1-14)(112+115)=5(天)，两项工作共用8天。

　　【例7】 某单位每年生活用水占总用水量的35。2010年通过行政、技术、经济等手段加强用水管理，调整用水结构，改进用水方式，科学、合理、有计划、有重点地用水，提高水的利用率，仅生活用水一项就节约了5000吨，减少了13。问该单位2009年总用水量是多少?()

　　A. 3.5万吨B. 3万吨

　　C. 2.5万吨D. 2万吨

　　【解析】 本题正确答案为C。比例问题。2009年生活用水为5000÷13=15000(吨)，总用水量为15000÷35=25000(吨)=2.5(万吨)，故选C。

　　【例8】 有20人修筑一条公路，计划15天完成。动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天?()

　　A. 16B. 17C. 18D. 19

　　【解析】 本题正确答案为D。设总的工作量为“1”，则每人每天的效率为115÷20=1300。动工3天所完成的工作量为315=15，剩余工作量完成所需时间为1-151300×(20-5)=16(天)。则修完这段公路实际用的时间为3+16=19(天)。故正确答案为D。

　　【例9】 一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖1天……两人如此交替工作。那么，挖完这条隧道共用多少天?()

　　A. 14B. 16C. 15D. 13

　　【解析】 本题正确答案为A。设总工程量为“1”，甲、乙合作的效率为120+110=320，则6个周期后工作量为320×6=910，剩110，由于第13天是甲挖，其工作效率为120，故第13天不能挖完，需再挖一天，即14天。

　　【例10】 在浓度为40%的酒精中加入4千克水，浓度变为30%，再加入m千克纯酒精，浓度变为50%，则m为多少千克?()

　　A. 8B. 12C. 4.6D. 6.4

　　【解析】 本题正确答案为D。设原来的溶液为x千克，由于第一次溶质不变，则有

　　40%·x=(x+4)·30%?x=12

　　又因再加入m千克纯酒精，溶质增加，则有

　　40%·x+m=(x+4+m)·50%

　　解得：m=6.4。



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